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La geometría del griego geo (tierra) y métrica (medida).es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

Historia[]

La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.

Estos conocimientos pasaron a los griegos y fué Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.

Euclides fué otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.

Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella".

Existen otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas "geometrías no euclidianas", como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky.

Como se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler o por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo, un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.

La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.

Clases de Geometría[]

Geometría Analítica[]

Es el estudio de figuras con recursos algebraicos, mediante la introducción de coordenadas que establecen una correspondencia entre los entes geométricos: curvas, puntos, superficies y los números y ecuaciones.

Geometría Diferencial[]

Esta consiste en estudiar las propiedades de las curvas y de las superficies con los recursos de los análisis infinitesimales.

Geometría Euclediana[]

Se basa en los postulados de los elementos de Euclides, y es válida la propiedad de que un punto puede trazarse sobre una sola paralela a una recta.

Geometría no Euclediana[]

Por un punto pueden trazarse dos paralelas a una recta (geometría hiperbólica) o ninguna paralela (geometría elíptica) así tenemos también la Geometría de dimensiones, descriptiva, métrica, afine y proyectiva, la topología, etcétera.

Geometría Descriptiva[]

Es la encargada del estudio de las propiedades geométricas, y de la relación espacial que tienen las figuras, comenzando de sus proyecciones ortogonales sobre una superficie plana.

Geometría Proyectiva[]

Estudia las llamadas propiedades descriptivas de las figuras geométricas, como la perteneciente a una recta o un punto, o dos rectas que se corten en un punto. Estas propiedades se diferencias de las propiedades métricas por las distancias entre los ángulos o rectas que se forman. Las diferencias son evidentes, no conservan distancias ni conservan los ángulos.

Geometría del Espacio[]

Es la que mide la extensión de las formas que se pueden expresar con medidas y de las relaciones que hay entre puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos para definir unas condiciones determinadas del espacio.

Geometría Plana[]

Es la geometría que estudia las figuras planas

Geometría Fractal[]

Es un objeto semi geométrico, cuya estructura fragmentada o irregular se repite varias veces.

Geometría Alogarítmica[]

Se ocupa del diseño e implementación de alogaritmos para la solución de problemas geométricos. Se aplica en la utilización de Autocad, de diseño, de robótica, etc.

Geometría Hiperbólica[]

Esta geometría es muy similar a la geometría euclidiana, también satisface los primeros cuatro postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.

Geometría Elíptica[]

Esta geometría es algo similar a la hiperbólica pero en lo que se diferencian es en que esta tiene la curvatura positiva.

Geometría de Dimensiones[]

Se refiere a las propiedades llamadas volumen, área y longitud a la configuración que solo tiene longitud, tiene una dimensión; área y no volumen, dos dimensiones; y volumen tres dimensiones.

Geometría Métrica[]

Es la ordenación de los puntos en la recta, división del plano y del espacio. Es la que mide el espacio, las herramientas utilizadas son los vectoriales, escalas o mixtos de vectores.

Geometría Topológica[]

Es la que estudia los problemas geométricos, tipológicos y algebraicos que surgen en las variedades de menos de 5 dimensiones.

Geometría Molecular[]

Es la disposición tri-dimensional de los átomos que constituyen una molécula. También determina las propiedades de la molécula.

Geometría Vectorial[]

Son sistemas de ecuaciones lineales y matrices, determinantes, vectores geométricos y espacios vectoriales.

Elementos de la Geometría[]

Los principales elementos de la geometría son:

 El Punto[]

Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.

Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.

La línea[]

Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.

Recta[]

La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección.

Paralelas[]

Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.

Perpendiculares[]

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.

Semirrecta[]

Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.

Segmento[]

Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.

* Curva

* El ángulo

* Los Polígonos

* La Circunferencia

Figuras geométricas[]

En la geometría, como disciplina, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la línea -recta, curva, quebrada-, la superficie, el segmento y otros de cuya combinación nacen todas las figuras geométricas.

El patio de tu escuela, una cancha de fútbol, los muebles de una casa o una tuerca son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pueden apreciar figuras geométricas.

Entonces, una figura geométrica (también se la puede denominar lugar geométrico)  corresponde a un espacio cerrado por líneas o por superficies.

Las figuras geométricas de lados rectos se denominan polígonos y las figuras de lados curvos se denominan círculo y circunferencia y corresponden también a polígonos.

Es importante recordar que las formas sólidas o tridimensionales corresponden a los cuerpos geométricos y se denominan poliedros, como el cubo y la pirámide, y a los cuerpos redondos, como la esfera y el cilindro.

Según las características de las figuras geométricas (polígonos) se pueden establecer varias clasificaciones.

Según la medida de sus lados y ángulos, los polígonos pueden ser regulares e irregulares.

Un polígono es regular si todos sus lados poseen la misma longitud y si todos sus ángulos son iguales.

Ejemplos:

Figurasgeom001 (1)

Polígonos regulares

Un polígono es irregular si todos sus lados tienen longitudes diferentes al igual que la medida de sus ángulos.

Ejemplos:

Figurasgeom002

Lados diferentes, Ángulos diferentes

De acuerdo con sus ángulos interiores, los polígonos pueden ser convexos y cóncavos.

Un polígono es convexo cuando todos sus ángulos interiores son menores a 180°

Ejemplo:

Figurasgeom003

En el polígono ABCDE cada uno de sus ángulos interires es menor de 180

Un polígono es cóncavo, si tiene al menos un ángulo interior mayor de 180 °

Ejemplo:

Figurasgeom004

El ángulo interior T del polígono RSTU es mayor de 180ª

Ahora bien, según el número de lados que posean (el número de lados es igual al número de ángulos que tiene la figura) los polígono se pueden clasificar de la siguiente manera:

Nombre Número de lados
Triángulo  3
Cuadrilátero        4
Pentágono     5
Hexágono     6
Heptágono        7
Octágono   8
Eneágono   9
Decágono    10
Undecágono    11
Dodecágono        12

Los demás polígonos simplemente se nombran indicando el número de lados que lo forman; polígono de trece lados, de catorce lados, etc., a excepción del polígono de veinte lados que también recibe un nombre específico (icoságono).

Triángulos

Veamos en seguida lo referente al polígono de tres lados, llamado triángulo.

Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados en:

  • Triángulo equilátero: el que tiene sus 3 lados iguales.

  • Triángulo isósceles:  el que tiene 2 de sus lados de igual medida.

  • Triángulo escaleno: el que tiene sus 3 lados de distinta medida.

Figurasgeom006

Los triángulos también se pueden clasificar según la medida de sus ángulos en:    

  • Triángulo acutángulo: el que tiene sus 3 ángulos agudos (menores de 90º)

  • Triángulo rectángulo: el que tiene 1 ángulo recto (90º)

  • Triángulo obtusángulo: el que tiene 1 ángulo obtuso (mayor de 90º y menos que 180º)

Figurasgeom007

Cuadriláteros

Otro de los polígonos muy populares son los cuadriláteros, los cuales se clasifican en:

  • Paralelógramos: son aquellos que tiene 2 pares de lados paralelos (cuadrado, rectángulo, rombo y romboide)

  • Trapecios: son aquellos que tienen 1 par de lados paralelos

  • trapecio isósceles: 2 lados de igual medida, 2 ángulos basales iguales

  • trapecio trisolátero: 3 lados de igual medida, 2 pares de ángulos basales iguales

  • trapecio rectángulo: ángulos basales rectos (90º)

  • trapecio escaleno: lados y ángulos de distinta medida

  • Trapezoides: No tienen lados paralelos

  • trapezoide simétrico: 2 lados de igual medida

  • trapezoide asimétrico: todos los lados de distinta medida

Conocer las características de los polígonos ayuda para el estudio de muchos temas como perímetros y áreas entre otros.

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